০.৯৯৯৯৯............ = ১ হয়; অবিশ্বাস্য হলেও সত্যি!

আগের পোস্টে বলেছিলাম ৪=৩ প্রমাণ করা গেলেও আসলে সেটি গণিতের সাথে ফাঁকিবাজি যা নিয়ম মেনে প্রমাণ করা অসম্ভব। এখন তাহলে মনে হচ্ছে .৯৯৯৯৯৯......= ১ প্রমাণ করাও তাহলে একটি লুকোচুরির দাবি রাখে। কিন্তু না, উল্টোটা প্রমাণ করতেই বরং লুকোচুরির আশ্রয় নিতে হবে। শুনতে অবাস্তব লাগছে দেখেই এক হালি প্রমান হাজির করছি......
প্রমাণ -১;বীজগাণিতিক প্রমাণঃ
ধরি, x= 0.999999......
তাহলে, 10x = 10 × 0.9999999........
or, 10x= 9.9999999....
বিয়োগ করে,
10x-x=9.9999999..... - 0.99999999.....
or, 9x= 9.000000
or, 9x = 9
or, x= 1
অথচ আমরা ধরেছিলাম, x=0.999999....
সুতরাং ০.৯৯৯৯৯৯৯৯৯৯......= ১ [প্রমাণিত)


প্রমাণ -২
দুইটি সংখ্যা যদি একই হয়, তার অর্থ এদের মাঝখানে অন্য কোন সংখ্যা নেই। যেওমন আমি যদি প্রমাণ করতে চাই  x= y, তাহলে আমাকে দেখাতে হবে x এবং y এর মাঝে অন্য কোন সংখ্যা নেই।
এখন, বলুন তো ০.৯৯৯৯৯৯৯৯৯৯ এবং ১ এর মাঝের সংখ্যা কোনটি? আপনি যদি অবিচ্ছিন্ন সংখ্যা consider করেন তবু এ দুই সংখ্যার মাঝে কাউকে পাবেন না। তার মানে দুজনে আসলে একই।


প্রমাণ-৩ঃ
আমরা জানি,
1/9=0.1111111.....
এটাই যদি বিশ্বাস না হয় তাহলে ক্যালকুলেটর চেপে দেখে নিন অথবা খাতা কলম নিয়ে ভাগ করে ফেলুন।
এবার তাহলে, 9×1/9 = 9× 0.11111111... [উভয়পক্ষকে 9 দ্বারা গুণ করে]
বা, 1 = 0.9999999.........

প্রমাণ -৪; ধারার মাধ্যমেঃ

আমরা লিখতে পারি,
0.9999999999....= 0.9+0.09+0.009+0.0009+..........
= 9/10+9/100+9/1000+9/10000+.......
এটা একটি গূনোত্তর ধারা যার প্রথম পদ , a = 9/10
সাধারণ অনুপাত, r = 1/10  <1
আমরা জানি গুনোত্তর ধারার r ১ এর ছোত হলে সমষ্টি হয়
S= a/(1-r)
=9/10(1-1/10)
=9/10×10/9   [না বুঝা গেলে খাতায় করে দেখুন, সিম্পল)
= 1
তাহলে ধারা থেকেও পাচ্ছি ০.৯৯৯৯৯৯৯... = ১
লক্ষ্যণীয় ০.৯৯৯৯৯৯৯৯ লিখতে গিয়ে ডট ডট না দিলে কিন্তু তা ১ হবে না।