ক্যালকুলাসের সাহায্য ছাড়াই গোলকের আয়তন নির্ণয়

বর্তমানে ক্যালকুলাস দিয়ে খুব সহজেই গোলকের সূত্র বের করা যায়। তবে ক্যালকুলাসের জন্ম তো এই সেদিন। সতেরশ শতকজুড়ে চলা ক্যালকুলাসের চর্চার চূড়ান্ত পরিণতি ঘটে নিউটন ও লিবনিজের হাত ধরে। অথচ খৃষ্টপূর্ব ২০০ শতকেই আর্কিমিডিস গোলকের সূত্র আবিষ্কার করে ফেলেছিলেন। চলুন, দেখা যাক কীভাবে ক্যালকুলাস ছাড়াই এই সূত্র পাওয়া যায়।
ধাপ-১. একটি অর্ধ-গোলক (hemisphere) নিন। গোলকের সমান উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের একটি সিলিণ্ডার দ্বারা একে আবৃত করুন। (আর এক্ষেত্রে যেহেতু গোলককে আবৃত করা হল, তাই সিলিন্ডারের উচ্চতা ও ব্যাসার্ধ সমান হবে)।

আমরা জানি সিলিন্ডারের আয়তন হচ্ছে = πr²h. এখানে যেহেতু সিলিন্ডারের উচ্চতা ও ব্যাসার্ধ সমান, তাই h=r। সুতরাং A =πr²×r=πr³। [বিস্তারিত বুঝতে চিত্র দেখুন]
২. এবার সিলিন্ডারের মধ্যে একটি সমকোণী কোণক নেই যার ভূমি থাকবে সিলিন্ডারের শীর্ষ বরাবর এবং নিম্ন-বিন্দু থাকবে অর্ধ-গোলকের কেন্দ্রে [চিত্র দ্রষ্টব্য]।
আমরা জানি কোণকের আয়তন = 1/3×ভূমির ক্ষেত্রফল×উচ্চতা= 1/3×π×r²×r (কারণ উচ্চতাও ব্যাসার্ধ r এর সমান)
এখন গণিতে এটা প্রমাণিত যে আমাদের চিত্রে দেখানো যেকোন কোণকের ক্ষেত্রে
অর্ধ-গোলকের ক্ষেত্রফল = সিলিন্ডারের ক্ষেত্রফল- কোণকের ক্ষেত্রফল হবে। [প্রমাণ ধাপ-৩ এ]
৩. প্রমাণঃ অর্ধ-গোলকের সমতল ভূমি থেকে h উচ্চতায় একটি আনুভূমিক ফালি নিই।
[চিত্র-২ দেখুন]

এখানে কোণকের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল হবে πx², যেখানে x = এই বিন্দুতে কোণকের ব্যাসার্ধ। অর্ধ-গোলকের বৃত্তাকার প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল হবে πs ² যেখানে s = এই বিন্দুতে অর্ধ-গোলকের ব্যাসার্ধ।
স্পষ্টত, এখানে কোণকটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, কারণ দুই বাহু = r । তাহলে ক্ষুদ্রতম ত্রিভুজটি হবে কোণকের মতই। মানে x = h। h, s, r বাহুগুলো একটি সমকোণী ত্রিভুজ রচনা করেছে।
তাহলে পিথাগোরাস সাহেব আমাদের বলছেন -
s²+h²= r²
অতএব πs² + πx² = π(r²-h²) + πh² = πr²। [যেহেতু x = h]
তাহলে আমাদের প্রতিজ্ঞাটি প্রমাণিত হল।
অর্থ্যাৎ অর্ধ-গোলকের ক্ষেত্রফল + কোণকের ক্ষেত্রফল = সিলিন্ডারের ক্ষেত্রফল।
এখন ঘনবস্তুর ক্ষেত্রে, সমান প্রস্থচ্ছেদের আনুভূমিক খণ্ডাংশ নেওয়া হলে খণ্ডাংশগুলোর আয়তনও সমান হবে।
৪. তাহলে আমরা ২ ও ৩ নং ধাপের সমন্বয়ে লিখতে পারি-
অর্ধ-গোলকের আয়তন = সিলিণ্ডারের আয়তন - কোণকের আয়তন
= πr³-1/3πr³
=2/3r³
অর্ধ গোলকের আয়তন যদি 2/3πr³হয় তাহলে পূর্ণ গোলক হবে এর দ্বিগুণ মানে 2×2/3πr³ = 4/3πr³।
শেষ পর্যন্ত পেলাম আমরা গোলকের আয়তন।