১ এর পরে ৫টি শুন্য দিলে এক লাখ, ৬টি দিলে ১০ লাখ বা ১ মিলিয়ন হয়। ৯টি শুন্য দিলে হয় ১ বিলিয়ন বা ১০০ কোটি। কিন্তু আরো বেশি দিলে? সেটাই জেনে নিই, চলুন। উল্লেখ্য, আগে সংখ্যা পদ্ধতির ব্রিটিশ ও আমেরিকান নিয়ম ভিন্ন ছিল। যেমন, আগে বিলিয়ন বলতে ব্রিটিশরা বুঝত 10¹²। কিন্তু, বর্তমানে ওরাও আমেরিকানদের পথে চলছে।

১ সেপ্টিলিয়ন = ১ এর পরে ২৪টি শুন্য 

১ মিলিয়ন = 10⁶ । অর্থ্যাৎ, ১ এর পরে ৬ খানা শুন্য।
১ বিলিয়ন = 10⁹
১ ট্রিলিয়ন =10¹²

১ কোয়াড্রিলিয়ন = 10¹⁵

১ কুইন্টিলিয়ন = 10¹⁸

১ সেক্সটিলিয়ন = 10²¹

১ সেপ্টিলিয়ন = 10²⁴

১ অক্টিলিয়ন = 10²⁷

১ ননিলিয়ন = 10³⁰

১ ডেসিলিয়ন = 10³³

১ উনডেসিলিয়ন = 10³⁶

---------------------

১ ভিজিন্টিলিয়ন = 10⁶³

১ সেন্টিলিয়ন = 10³⁰³

১ গুগোল (Googol) = 10¹⁰⁰

১ গুগোলপ্লেক্স (Googolplex) = 10^Googol (10¹⁰¹⁰⁰)

আরো বেশি বেশি দেখতে চাইলে নিচের লিঙ্কে ক্লিক করুন।

সূত্রঃ

১। ইংরেজি উইকিপিডিয়াঃ বড় বড় সংখ্যাদের নাম

Category: articles

Read More...

প্রকৃতি যে সুকৌশলে গণিত মেনে চলে তার আরেকটি উদাহরণ হলো প্রকৃতিতে পলিহেড্রনের ছড়াছড়ি। এই কথার প্রমাণ দেখার আগে চলুন চোখ ডুব দিয়ে নিই পলিহেড্রন শব্দটির গভীরে।
আমরা সবাই জানি, প্রাচীন গ্রিক থেকে আগত polús শব্দটি থেকে আগমণ ঘটেছে পলি (Poly) শব্দের । অর্থ হচ্ছে , 'অনেক', 'বহু"। আর শব্দটির অপর অংশ hedronও এসেছে প্রাচীন গ্রিক থেকেই। ἕδρα বা hédra থেকে আগত এই শব্দটির অর্থ 'ভিত্তি', 'তল', 'মুখ' ইত্যাদি।
অর্থ্যাৎ, সহজ কথায়, যে জ্যামিতিক গঠনের অনেকগুলো তল থাকে সেটাই পলিহেড্রন। আর, এজন্যেই এর বাংলা নামটিও হয়েছে যথার্থই-বহুতলক।  'তল' থাকে তিন বা তার অধিক মাত্রার বস্তুর। ফলে, পলিহেড্রন অবশ্যই অন্তত ত্রিমাত্রিক হবে। দ্বিমাত্রিক গঠন, যেমন বর্গ বা আয়ত কোনোভাবেই পলিহেড্রন হবে না, কারণ এদের কোন তল নেই।
বহুতলককে দ্বিমাত্রিক বানিয়ে ফেললে আমরা পাবো বহুভূজ (Polygon)। বহুভূজদের নামের শেষে থাকে 'ভূজ' বা 'gon' কথাটি। অন্য দিকে বহুতলকদের নামের শেষে থাকে (সাধারণত) 'তলক' বা ' 'hedron' শব্দটি। তবে, কিছু পরিচিত বহুতলকের নামের শেষে হেড্রন বা তলক থাকে না, যেমন ঘনক (কিউব),পিরামিড, প্রিজম ইত্যাদি। এদের সংখ্যা অল্প।
তলের সংখ্যা অনুসারে বহুতলকদের বিভিন্ন রূপভেদ পাওয়া যেতে পারে। যেমন, টেট্রাহেড্রন বা চতুষতলকে চারটি ত্রিভুজাকার তল থাকে যাদের তিনটি একই সাধারণ শীর্ষে মিলিত হয়।

অবশ্য 'টেট্রা' শব্দ শুনে মনে হতে পারে, ত্রিভুজ দিয়ে কেন তল বানানো হয়েছে, চতুর্ভুজ দিয়ে কেন নয়? আসলে মাত্র চারটি তলের সমন্বয়ে গঠিত বহুতলক শুধু ত্রিভুজকে তল বানিয়েই বানানো যায়। আর কোনোভাবেই মাত্র চারটি তল দিয়ে বহুতলক হয় না।
আটটি তলক নিয়ে গঠিত হয় অষ্টতলক বা অক্টাহেড্রন (octahedron)। ডোডেকাহেড্রনে থাকে ১২ টি তল। আবার আইকোসাহেড্রন (Icosahedron)-এ তল থাকে বিশটি।  বহুতলকদের সংখ্যাও কিন্তু বহুই।
প্রকৃতিতে দেখা মেলে বিভিন চিত্র-বিচিত্র বহতলকের। কোনো কোনোটাতো আবার আকার নেয় প্রচলিত তারকার মতো। চতুষতলক, ঘনক ও অষ্টলতকের প্রত্যেককেই পাওয়া যায় স্ফটিকরূপে। যেমন ক্যালসিয়াম, টাইটেনিয়াম, অক্সিজেন ও সিলিকনের যৌগ টাইটেনাইট বহুতলক স্ফটিকের বেশ ভালো একটি উদাহরণ।

ছবিতে টাইটেনিয়ামের অষ্টতলক, সিলিকার চতুষতলক এবং ক্যালসিয়ামের বিচ্ছিন্ন অণু দেখা যাচ্ছে।
আবার বিরাইল ((Be₃Al₂Si₆O₁₈) যৌগে দেখা যায় চতুষতলকেরা (Tetrahedron) মিলে তৈরি করেছে ষড়কোণী বলয়। 

কার্বনের নতুন আবিষ্কৃত অণু ফুলারিনেরও বহুতলকের সাথে দহরম মহরম সম্পর্ক।

রসায়নেই শুধু নয়, বহুতলকের আধিপত্য রয়েছে জীববিজ্ঞানেও। বিংশ শতকের শুরুর দিকে আর্নেস্ট হেকেল রেডিওলেরিয়া পর্বের বেশ কিছু প্রাণির কঙ্কালের গঠনের বর্ণনা দেন। মূলত এদের গঠন ছিল সুষম বহুতলকের মত। অন্যতম একটি উদাহরণ হচ্ছে Circogonia icosahedra প্রাণির দেহ কাঠামো।

অন্য দিকে, আমাদের অতি পরিচিত কিন্তু অনাকাঙ্ক্ষিত ভাইরাস এইচআইভির গঠনও বহুতলাকার।
মৌমাছিদের মৌচাকের গঠনের জন্য আমরা বাহবা দেই ষড়ভূজকে। প্রকৃতপক্ষে মৌচাকে ষড়ভূজাকার মুখ থাকে। কিন্তু মৌচাকের অভ্যন্তরীণ চ্যাম্বারগুলো হয় রম্বিক ডোডেকাহেড্রন আকারের। একই ধরণের আকৃতি দেখা যায় ডালিমের অভ্যন্তরের কোষের মধ্যে, বিশেষ করে যখন কোষগুলো বড় হতে থাকে।

ভীমরুলের কামড় খেয়েছেন কখনো? কামড় খেতে ভীষণ খারাপ লাগলেও ওদের বাসা কিন্তু দেখতে দারুণ।  আকৃতিটা হচ্ছে ষড়ভূজী প্রিজমের মতো। এটাও আরেক প্রকার বহুতলকই।

জীবজগতে আরো বহু বহুতলক থাকলেও আমরা আপাতত চোখ বুলাই অন্য দিকে।
প্রাচীন কালে পিথাগোরাসের শিষ্যরা মনে করতেন গ্রহদের কক্ষপথ মেনে চলে বহুতলাকার আকৃতি। সপ্তদশ শতাব্দীতে জোহানেস কেপলার আরেক বিজ্ঞানী টাইকো ব্রাহের গ্রহদের গতি সংক্রান্ত সংগৃহীত উপাত্ত থেকে পিথাগোরীয়দের মতটি প্রতিষ্ঠিত করার চেষ্টা করেন। তিনি গ্রহদের কক্ষপথের আকারের সাথে বহুতলকদের আকারের মিল বের করতে সচেষ্ট হন। বলাইবাহুল্য, সে চেষ্টা সফল হয়নি। কিন্তু আজকে আমরা যে গ্রহদের গতি সম্পর্কিত কেপলারের সূত্রগুলো এত সুবিন্যস্তভাবে পাচ্ছি, তার পেছনে অবদান আছে বহুতলকদের পেছনে গবেষণার। অবশ্য সেই সময় মাত্র ৫টি গ্রহের সাথে মানুষের পরিচয় ছিল বলেই প্রাথমিক অনুমানটি তৈরি হতে পেরেছিল। পরবর্তীতে ইউরেনাস ও নেপচুন আবিষ্কৃত হবার পরে এই ক্ষেত্রে পিথাগোরীয় মতবাদটির কবর রচিত হয়ে যায়।

স্থাপত্যজগতেও বহুতলকদের রয়েছে ভালো কদর। ২০০৮ সালের সামার অলিম্পিক উপলক্ষে বেইজিং-এ নির্মিত ওয়াটার কিউবও একটি বহুতলক। অবশ্য আসলে কিউব (ঘনক) নয় বরং কিউবয়েড (Cuboid)। তাতে কি, এটাতো বহুতলকই থাকছে!

সূত্রঃ
[১] http://en.wikipedia.org/wiki/Polyhedron
[২] Polyhedra_in_Nature

Category: articles

Read More...

ট্রেনে ভ্রমণ করছেন। আপনার কক্ষে আপনি ছাড়া আরও ৪ জন লোক আছে। ধরা যাক তাদের নাম ক, খ, গ এবং ঘ।  কিছুক্ষণ পর দেখা গেল, আপনার পেন ড্রাইভ গায়েব। আপনি নিশ্চিত, এই চারজনের কেউ না কেউই ওটা সরিয়েছে। কিভাবে ধরবেন, কে চোর।
আপনার শুধু জানা আছে, এদের মধ্যে মাত্র একজন সত্য কথা বলে। চারজনের বক্তব্যই আপনি নিলেন যা এ রকম।
কঃ আপনার পেন ড্রাইভ চুরি করেছে খ।
খঃ গ ওটা চুরি করেনি
গঃ আমি চুরি করিনি
ঘঃ গ চুরি করেছে
এবার বলেন তো আসলে কে চোর?
আগে ভাবুন, পরে উত্তর মিলিয়ে নিন 

উত্তরঃ
চোর হল গ।
কারণ, মাত্র একজনই সত্য কথা বলে। কিন্তু দেখা যাচ্ছে খ ও গ এর বক্তব্য মিলে যাচ্ছে। কিন্তু একই সাথে দুজনেই সত্য হতে পারে না। তার মানে দু'জনেই মিথ্যা, কারণ, একই সাথে দু'জনেই মিথ্যা হতে পারে।

Category: articles

Read More...

একবার রাণী ক্যাথেরিনের রাজসভায় দাওয়াত পেয়ে ফ্রেঞ্চ দার্শনিক ডেনিস ডিডেরট তার নাস্তিকপন্থী মনোভাবের জোর প্রচার শুরু করেন। কোন উপায় না দেখে রাণী অয়লারকে ডেকে পাঠান। অয়লার সাহেব এসে ডেনিস সাহেবের সাথে ধর্মীয় আলোচনায় যুক্ত হলেন। অয়লার এক পর্যায়ে বললেন তিনি ঈশ্বরের অস্তিত্বের একটি বীজগাণিতিক প্রমাণ দেখাবেন। ডি মরগানের ভাষ্য মতে ডেনিস সাহেব রাজী হলেন এবং অয়লার পরিপূর্ণ আত্মবিশ্বাস নিয়ে বললেন, "স্যার, যেহেতু e^(iπ) +1= 0; অতএব ঈশ্বর আছেন।"
রাজসভার সবাইকে হাসার সুযোগ করে দিয়ে গণিতে অপক্ক ডেনিস সাহেব সাথে সাথে প্রস্থান করেন।

এই একটি সমীকরণ গণিতের চারটি শাখাকে যূথবদ্ধ করে। e এর আবির্ভাব ক্যালকুলাস থেকে, π আসে জ্যামিতি থেকে, i এর পদচারণা জটিল সংখ্যার জগতে আর ০ ও ১ এর ব্যবহার পাটিগণিতে। অয়লার মনে করতেন গণিতের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ পাঁচটি সংখ্যার এই সম্পর্ক কোন কাকতালীয় ব্যাপার হতেই পারে না। অতএব ঈশ্বর অবশ্যই আছেন আর তিনিই এই সম্পর্ক গড়েছেন।
এই সংখ্যাগুলো আসলেই একটু স্পেশাল।
এখানে,
e = ন্যাচারাল লগারিদমের ভিত্তি।
π = বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের নির্দিষ্ট অনুপাত
i = কাল্পনিক সংখ্যার একক যার মান √ (-1)
০ = যোগজ অভেদ (Additive Identity)
১ = গুনজ অভেদ (Multiplicative Identity)
এগুলো কেন বিশেষ সংখ্যা তা একটু বলে নেই। 
e (অয়লারের সংখ্যা): 
গণিতের অন্যতম প্রয়োজনীয় ও গুরুত্বপূর্ণ একটি অমূলদ ধ্রুবক হল অয়লারের সংখ্যা e। এই e হল স্বাভাবিক লগারিদমের ভিত্তি। অর্থ্যাৎ আমরা যাকে ln বলি (Natural Logarithm) সেটা আসলে loge। এর কাছাকাছি মান হল 2.71828। এটাকে এভাবেও লেখা যায়-

সুইশ গণিতবিদ লিওনার্দ অয়লারের নামে একে e বলা হলেও লগারিদমের আলোচনা করতে গিয়ে জন নেপিয়ার প্রথম e এর ধারণা দিয়েছেন। তাই একে নেপিয়ারের ধ্রুবকও বলা হয়।  এই e কোন র‍্যানডম নাম্বার নয়। ইতিহাসবিদদের মতে, সত্যিকার অর্থে ধ্রুবকটি বের করেছেন কোন বণিক বা ব্যাংকার। কারণ, সংখ্যাটির চক্রবৃদ্ধি সুদের সাথে সম্পর্ক রয়েছে। আরো সূক্ষ্মভাবে বললে, একক প্রাথমিক পরিমাণ থেকে চক্রবৃদ্ধিতে ১০০% হারে এবং অসীম সংখ্যক সময়কালে বর্ধনশীল যেকোন বৃদ্ধির সর্বোচ্চ মান হতে পারে এই সংখ্যা।
সেমন, কোন পণ্যের দাম ছিল ১ টাকা। ১০০% বৃদ্ধিতে ১ বছরে এর দাম হবে ২ টাকা। [চক্রবৃদ্ধির সূত্রানুযায়ী]
এখন, হার ১০০% ই রেখে একে দুই সময়কালে ভাগ করে নিয়ে প্রতি ছয় মাস পর ৫০% করে বাড়ালে বছর শেষে দাম দাঁড়াবে ২.২৫ টাকা। অর্থ্যাৎ, কিছুটা বেশি । এভাবে সময়কালকে আরো খণ্ডায়িত করতে থাকলে বছর শেষে পরিমাণও বাড়তে থাকে। কিন্তু যতই বাড়ে ততই বাড়ার হার কমে অর্থ্যাৎ আগের বার তার আগের বারের চেয়ে যতটুকু বেড়েছিল এবার গত বারের চেয়ে তার চেয়ে কম পরিমাণ বেড়েছে। এটা ঠিক যেন মহাবিশ্বের সম্প্রসারণ নীতির বিপরীত যেখানে গ্যালাক্সিরা যতই দূরে সরে, ততই সরে যাবার বেগ বেড়ে যায়।
এখন, এই ক্ষেত্রে প্রথম দিকে অধিক খণ্ডায়ানের প্রতিক্রিয়া বেশি হলেও ধীরে ধীরে এ প্রভাব কমতে কমতে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার কাছকাছি আবর্তিত হয়। সেই সংখ্যাটি হল 2.718 281 828......,একটি অমূলদ ধ্রুবক।
চক্রবৃদ্ধির সাথে সম্পর্ক থাকার বদৌলতেই ধ্রুবকটি প্রথম কোন গণিতবিদের হাতে আবিষ্কৃত না হয় হয়েছিল ব্যাংকারের হাতে।

পাইঃ যে কোন বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত একটি ধ্রুবক সংখ্যা (পাই-π)- এ জ্ঞান চার হাজার বছর প্রাচীন। দূর্ভাগ্যজনক হলেও সত্য এত ন্যাচারাল ও নিরীহ এই ধ্রুবকটিকে দেখলেই এখনও স্কুলপড়ুয়া অনেক শিক্ষার্থী ভয় পায়।  ব্যাবীলনীয় ও মিশরীয়রা ছাড়া আর্কিমিডিস ও চীনের যু চংজি সহ অনেক বিখ্যাত গণিতবিদের গবেষণার খোরাক ছিল এই পাই। অবশেষে ১৭০৬ সালে উইলিয়াম জোন্স পাইকে প্রকাশের জন্য π চিহ্নের প্রস্তাব করেন যাকে ১৭৩৭ সালে কাজে লাগিয়ে বিখ্যাত করেন লিওনার্দ অয়লার। ফ্রেঞ্চ গণিতবিদ জর্জ বুফন সম্ভাব্যতা দিয়ে পাই এর মান বের করার সূত্র বের করেন।
i:
i হচ্ছে কাল্পনিক সংখ্যা প্রকাশের একক। i^2 = -1। কাল্পনিক বলার কারণ হল বাস্তবে এমন কোন সংখ্যা নেই যার বর্গমূল -1 (মাইনাস 1)। অন্য বাস্তব সংখ্যার মতই অবশ্য -1 এর বর্গমূল দুটি যথা i এবং -i।
শূন্য (০):
0 কে বলা হয় যোগজ অভেদ (Additive Identity)। এটা হল 'নাথিং' বা 'কিছুই না' এর গাণিতিক প্রকাশ। এটা নিয়ে একটি কৌতুক হল, এক বন্ধু ০ আবিষ্কার করে বলল, "আমি এটা আবিষ্কার করলাম"
২য় বন্ধুঃ কী আবিষ্কার করলে, হে?
১ম বন্ধুঃ কিছুই না!
২য় বন্ধুঃ !!!!!!!!
একে যোগজ অভেদ বলার কারণ, ধরুণ, আপনি ক্রমান্বয়ে অনেক কিছু যোগ করবেন। যখন আপনি কিছুই যোগ করেননি তখন আপনার যোগফল ০। ভাবছেন এ আর এমন কি বিশেষত্ব! হ্যাঁ, বিশেষত্বই বটে। একটু পর বলছি। যাই হোক, একে প্রতিকের বদলে সংখ্যা হিসেবে প্রথম আবিষ্কার করেন ভারতীয়রা।
এক (1) :
১ হল গুণজ অভেদ (Multiplicative Identity)। এর বিশেষত্বের কারণ হল, ধরুন আমরা ক্রমান্বয়ে অনেকগুলো সংখ্যা গুণ করবো। তাহলে যখন একটা গুণও করিনি তখন গুণফল ১। কারণ আদি গুণফল ১ না ধরে ০ ধরলে পরবর্তীতে সব গুণফল হয়ে যাবে ০।  এটা হল এর সাথে যোগজ অভেদের তারতম্য। আর এ কারণেই লজিক্যালি 0! (0 Factorial) এর মান ১ ধরা হয়। অর্থাৎ এখনও কিছুই গুণ করা হয় নি, মানে হাতে মাত্র ১ আছে। কিন্তু 0 Factorial এর মান ০ হলে ফ্যাক্টোরিয়াল নীতিই অস্তিত্ত্ব হারাত, কারণ যে কোন কিছুর ফ্যাক্টোরিয়াল হত ০।
এ জন্যই যোগ-বিয়োগের ক্ষেত্রে কিছু নেই মানে ০ আর গুণ ভাগের ক্ষেত্রে কিছু নেই মানে ১।
এখন, দেখা যাচ্ছে, এই পাঁচ সংখ্যার আসলেই বিশেষত্ব আছে।
সম্পর্কঃ
e^(iπ) +1= 0
ছোটবেলায় সরল অঙ্কের সরল ফলাফল (এই অর্থে আসলেই সরল!) পেয়ে আমরা কিছুটা হতাশ হতাম বৈকি, এটা তাহলে তার চে' বড় হতাশা! এক দিকে গোবেচারা শূন্য আর অপরদিকে কেমন কিম্ভুতকিমাকার একটি আকৃতি!
এখন চলুন, এটার প্রমাণ দেখে ফেলি-
eiπ=-1 বা e^(iπ) +1= 0 হয় কেন- এই প্রশ্নটির আসল রূপ হচ্ছে আসলে eiπ দ্বারা আসলে কী বোঝায়। অর্থাৎ কোন সংখ্যার ঘাত কাল্পনিক হওয়ার মানে কী? এটা বোঝা গেলেই সমীকরণটিও সরল অঙ্কের মতই সরল হয়ে যাবে।
ডি ময়ভারের সূত্র থেকে আমরা জানতে পারি, সকল x এর জন্য,

এই সমীকরণ থেকে এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশনের সাথে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সম্পর্ক ধরা পড়ে। 
তাহলে, x এর বদলে π বসিয়ে আমরা পাই, । কারণ, cosπ এর মান -1 এবং sinπ এর মান 0।
এখন কাজ হচ্ছে প্রমাণ করা যে কেন যেটা থেকে বোঝা যায় e এর ঘাত একটি কাল্পনিক সংখ্যা হবার মানে কী।
সূচকের মৌলিক ধারণা মতে কোন একটি সংখ্যার ঘাত কাল্পনিক সংখ্যা হওয়া অর্থহীন যেখানে মানে বোঝায় a কে b সংখ্যক বার নিজের সাথে গুণ করা। b ধনাত্মক হলেই কেবল সূচকের এই ধারণা মানানসই হয়। নচেৎ কোন সংখ্যাকে নিজের সাথে i বার (কাল্পনিক সংখ্যক বার) গুণ করার অর্থ কী?
অবশ্য সূচকের মূল সংজ্ঞায় b এর মান ভগ্নাংশ কিংবা ঋণাত্মক সংখ্যাও হতে পারে না। কিন্তু এর পরেও কোন সংখ্যার ঘাত ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হলে আমরা তার থেকে অর্থ বের করে নিতে পারি ।
যেমন, যেহেতু ১/৩ হচ্ছে সেই সংখ্যা যাকে ৩ দ্বারা গুণ করলে ১ পাওয়া যায় সেহেতু a^(1/3) কে অর্থপূর্ণ বলা যাবে এই বলে যে এর ঘাত 3 পর্যন্ত উঠালে a^1 তথা a পাওয়া যাবে।
ফলে, a^(1/3) হচ্ছে a এর ঘনমূল (Cube Root)। একইভাবে ঘাত নেগেটিভ হলে আমরা তাও অনুবাদ করতে পারি। যেমন, a^(-2) মানে 1/(a^2)।
তাহলে একটুখানি ঝামেলা থাকলেও ঘাত ঋণাত্মক বা ভগ্নাংশ হলে আমরা মুশকিলে পড়ি না।
দেখা যাক, কাল্পনিক সংখ্যা যে মুশকিলে ফেলে দেয় তার আসান কোথায়। 
তাহলে, আমাদেরকে সূচককে বা তার ধর্মকে এমনভাবে প্রকাশ করতে হবে যাতে এর ঘাত জটিল সংখ্যা বানানো যায়।
এখন, e^x এর ধারাভিত্তিক অসীম সম্প্রসারণ হল-
যেখানে n! (n factorial) মানে হল ১,....n পর্যন্ত গুণফল। ধারাটি আসে ক্যালকুলাসের টেইলর সিরিজ থেকে। এখন এই অসীম সমষ্টি জটিল সংখ্যার (যাতে কাল্পনিক সংখ্যা বিদ্যমান থাকে) ক্ষেত্রেও অর্থবহ হয়। আমরা যদি x এর বদলে ix বসাই,
 তাহলে,
এখন টেইলর সিরিজ আরো বলে যে হল cosx এর অসীম সমষ্টি এবং হল sinx এর অসীম সমষ্টি। অতএব, ।
সমীকরণটিকে সাজিয়ে লেখা যায় eiπ +1= 0।
ফলে, অনেক জটিল সম্পর্কের সহজ রূপ আমরা পেয়ে গেলাম।সরল ফলাফল!!
তথ্যসূত্রঃ
[১]https://cs.uwaterloo.ca/~shallit/euler.html
[২]http://scidiv.bellevuecollege.edu/Math/Euler.html
[৩]https://www.math.toronto.edu/mathnet/questionCorner/epii.html
[৪]http://arstechnica.com/civis/viewtopic.php?f=24&t=998695
[৫] https://brilliant.org/discussions/thread/the-discovery-of-the-number-e-2/

Category: articles

Read More...

দাবা খেলা আবিষ্কারের প্রেক্ষিতে পুরষ্কার প্রদান নিয়ে মজার ঘটনাটি আমরা সবাই কম বেশি জানি। দাবার উদ্ভব পূর্ব ভারতের গুপ্ত সাম্রাজ্যে। শুরুর দিকে এর নাম ছিল চতুরঙ্গ। কে এই বুদ্ধির খেলা আবিষ্কার করেন তা সঠিকভাবে জানা যায় না। তবে জানা যায়, তিনি স্বৈরাচারী রাজাকে বোঝাতে চেয়েছিলেন যে প্রত্যেকেই, এমনকি রাজ্যের তুচ্ছ মানুষটিও কতটা গুরুত্বপূর্ণ হতে পারেন।
যায় হোক, রাজা চতুরঙ্গে মুগ্ধ হলেন। তিনি আবিষ্কর্তাকে পুরষ্কার দিতে চাইলেন।
বললেনঃ কি চাই তোমার?
উদ্ভাবক বললেন বোর্ডের প্রথম ঘরের জন্য আমি একটি গম চাই। ২য় ঘরের জন্যে ২টি, ৩য় ঘরের জন্য চারটি......এভাবে প্রত্যেক ঘরের জন্য আগের ঘরের দ্বিগুণ দিয়ে দিয়ে ৬৪ ঘরে যত গম তা দিলেই চলবে। রাজা তো তাঁকে এত তুচ্ছ প্রাইজ চাওয়ার জন্য তাচ্ছিল্যই করলেন।
কর্মচারীদের নির্দেশ দিলেনঃ এখনই একে গম দিয়ে বিদেয় কর।
কিন্তু গমের হিসাব করতেই সপ্তাহ পেরিয়ে গেলো। ফলাফল যা বেরুলো, সেই পরিমাণ গম রাজার চৌদ্দপুরুষেও দেওয়া সম্ভব নয়। তাই গল্পের কোন এক সংস্করণের মতে রাজা পরে তাঁকে তার মন্ত্রী বানিয়ে নেন।

 
চলুন তাহলে দেখে ফেলি ঐ উদ্ভাবক কত গম পেতেন যা দেওয়া রাজার জন্য অসম্ভব হয়ে গেলো।
প্রথম ঘরের জন্য ১ টি, ২য় ঘরের জন্য ২ টি...... এভাবে প্রতি ঘরে আগের ঘরের দ্বিগুণ হতে থাকলে মোট গমের সংখ্যাকে আমরা নিচের ধারায় প্রকাশ করতে পারি-
1 + 2 + 4 + 8+...  (৬৩ বার পর্যন্ত দ্বিগুণ করা হবে)
= 2⁰ + 2¹ + 2²  + 2³+...+  2^{63 ।} 
এর মান আমরা কয়েকভাবে বের করতে পারি।
যেমন, ধরি
 
উভয়পক্ষকে ২ দ্বারা গুণ করে,
 

 বিয়োগ করে, 

অথবা ধারার মাধ্যমে বের করতে পারি।
উপরের ধারাটি একটি গুণত্তর ধারা যা এ রকম,
a + ar + ar² + ... + ar^(n-1) যেখানে প্রতিটি পদ হল ar^{k ;}আর k এর মান হল ০ থেকে (n-1) পর্যন্ত। । এ রকম ধারার সমষ্টি

তাহলে, আমাদের এখানে প্রথম পদ, a = 1।
সাধারণ অনুপাত (যেহেতু গুণোত্তর ধারা), r = 2
n = 64
অতএব, সমষ্টি

= (1-2⁶⁴) / (-1) = 2⁶⁴ - 1

= 18,446,744,073,709,551,615 

অর্থাৎ, রাজাকে এতগুলো গম প্রদান করতে হবে। অনেকের কাছে হয়তো এখনও মনে হচ্ছে এ আর এমন কি! 

আসুন গম গুলোকে বস্তায় ভরি, দেখি কত বস্তা গম হয়। 

তাহলে, আগে বের করতে হবে প্রতি বস্তায় কত গম ধরবে। আর সেজন্য জানা দরকার গম ও বস্তার আকার। স্বাভাবিক আকারের বস্তার ব্যাস হয় প্রায় ২ ফুট (61 cm, তাহলে, ব্যাসার্ধ r= ৩০.৫ সেমি) , উচ্চতা (h) আড়াই ফুট ( 76 cm)।

অতএব, প্রতি বস্তার আয়তন V = πr²h (যেহেতু বস্তা সিলিণ্ডারাকার) 
মান  বসিয়ে V = 3.1416*(30.5)^2*76 cm^3
 = 222107 cm^3 (প্রায়)
এবার গমের আয়তন বের করি। 

আমরা জানি গমের আকার হয় দৈর্ঘ্যে যথাক্রমে ৫ ও ৯ মিলি মিটার। গমকে যদি আমরা উপবৃত্ত বিবেচনা করি তাহলে যেহেতু উপবৃত্তের আয়তন হচ্ছে (4/3)πabc; যেখানে a, b,c হচ্ছে মূল বিন্দু বা কেন্দ্র থেকে অক্ষত্রয়ের প্রান্তিক সীমা। গমের ক্ষেত্রে আমরা বলতে পারি, বৃহত্তর অক্ষ , a = 9/2 = 4.5 mm = .45 cm। 
গমের আকৃতির জন্য অন্য দুইটি অক্ষ সমান, ফলে b = c = 5/2 = 2.5 mm = .25 cm। 
তাহলে প্রতিটি গমের আয়তন 4/3*.45*.25*.25 cm^3 = 37.5 cm^3 = .0375 cm^3। 
অতএব, বস্তার আয়তনকে গমের আয়তন দিয়ে ভাগ করে আমরা পাই,  প্রতি বস্তায় গমের সংখ্যা 5922879 টি (প্রায়)। 
তাহলে মোট গমের সংখ্যাকে এটা দিয়ে ভাগ করে আমরা পাই, 31 144 89 435 579 বস্তা। অর্থাৎ মোত এতটি বস্তা লাগবে। এর মানে ৩১ লাখ ১৪ হাজার ৪৮ কোটি ৯৪ লাখ ৩৫ হাজার পাঁচশ ৭৯ বস্তা গম লাগবে। এবার ভাবুন! কি পরিমাণ শুধু বস্তাই লাগবে!! 
১ লাখ বস্তা গমই তো কত! অথচ এখানে ৩১ লাখ ১৪ হাজার, তার কোটি! 
বাস্তবে অবশ্য বস্তার সংখ্যা আরো বেশি হবে, কারণ এখানের হিসাবে বস্তায় গম ১০০% ঠেঁসে ভরা হয়েছে, ফলে বস্তায় একটুও ফাঁকা যায়গা নেই। কিন্তু বাস্তবে বস্তায় কিছু জায়গা ফাঁকা থাকবে। 

এ পরিমান গমের ওজন (ভর) কত?
আমরা জানি, গমের ভর হয় ৩৫ থেকে ৫০ মিলি গ্রাম। না হয় আমরা গড়ই নিলাম, ৪২ মিলি গ্রাম = .০৪২ গ্রাম = .০০০০৪২ কেজি। 
তাহলে মোট ভর (প্রচলিত ভাষায় ওজন) = 18,446,744,073,709,551,615 * .000042 kg।
অর্থাৎ 774763251095801 কেজি (প্রায়) = 774763251095 মেট্রিক টন। বা প্রায় ৭ হাজার সাড়ে ৭ শ কোটি মেট্রিক টন।
এবার মনে হয় আমরা বুঝতে পারছি, কেন রাজা এ পুরষ্কার দিতে অপারগ হলেন।
বিশ্বে গম উৎপাদনের পরিসংখ্যানের দিকে তাকালে আমরা দেখি ২০১২ সালে সর্বোচ্চ ১৩৪ মেট্রিক টন গম উৎপাদিত হয় ইউরোপিয়ান ইউনিয়নভুক্ত দেশগুলোতে। একক দেশ হিসেবে চীন সর্বোচ্চ ১২৫ মেট্রিক টন উৎপাদনে সক্ষম হয়। সারা বিশ্বে ঐ বছর মোট ৬৭৫ মেট্রিক টন গম উৎপাদিত হয়। 
উইকিপিডিয়ার ভাষ্য মতে, ওই পর্যন্ত ১৭ বছরে সারা বিশ্বে মোট ৯৮৭৯ টন গম হয়। 
উক্ত গম উৎপাদন করতেকত বছর লাগবেঃ
রাজাকে যদি সুযোগ দেওয়া হত যে সারা বিশ্বে প্রতি বছর যে গম উৎপাদন হবে তা আপনাকে দিয়ে দেওয়া হবে, তবে পুরষ্কার দিতে রাজার কত সময় লাগবে?
গড়ে প্রতি বছর প্রায় ৬৮০ টন গম ফলে। তাহলে ৭ হাজার সাড়ে ৭ শ কোটি টন গম ফলাতে কত বছর লাগবে? উত্তর হচ্ছে 113,93,57,722 বছর বা ১১৩ কোটি ৯৩ লাখ ৫৭ হাজার ৭২২ কোটি বছর। বাহ! কী সহজ! 
পৃথিবীর বয়স সাড়ে ৪ শ কোটি বছর। ঐ গম ফলাতে তার প্রায় এক-চতুর্থাংশ সময় লাগবে! (তাও এখন প্রযুক্তির কল্যাণে বেশি ফলন হচ্ছে, আদি কাল থেকে ফলাতে হলেই সেরেছে! কিয়ামত হয়ে গেলো শেষ হতো না, নিশ্চিত করেই বলা যায়)
তার চেয়ে দুই বন্ধুর কৌতুকের মতে বলে দেওয়া বড়ই সুবিধাজনক, "বন্ধু, তোমার এই ঋণ আমি কোন দিন শোধ করতে পারবো না। "
সূত্রঃ
http://arimaa.com/arimaa/links/chessStory.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Wheat_and_chessboard_problem
http://www.bakeinfo.co.nz/Facts/Wheat-Milling/Wheat/Wheat-grain
http://www.infoplease.com/ipa/A0001659.html
http://en.wikipedia.org/wiki/International_wheat_production_statistics

Category: articles

Read More...

এখন আগস্ট মাস। এই মাসের ৫ তারিখে নরওয়ের ফিনয় শহরে জন্ম নেন ক্ষণজন্মা ও অসামান্য প্রতিভাধারী গণিতবিদ নিলস হেনরিক অ্যাবেল। তাঁর নামানুসারে গণিতের সবচেয়ে সম্মানজনক পুরস্কার Abel Prize দেওয়া হয়। অ্যাবেল নিয়ে জানার আগে চলুন নোবেল প্রাইজ নিয়ে একটু জেনে নিই।
নোবেল পুরস্কার সম্পর্কে কিছু কথাঃ

১৮৮৮ সাল। আলফ্রেড নোবেল খবরের কাগজ পড়ছেন। একটি শিরোনামে তাঁর চোখ আটকে গেল। "মৃত্যু বণিকের মৃত্যু" (The Merchant of Death is Dead".। না, খবরটি তাঁর আত্মা নয়, তিনিই সশরীরেই পড়ছিলেন। তবে মারা তিনি যাননি, গিয়েছিলেন তাঁর ভাই লুডভিগ নোবেল । খবরে ভুল হয়েছিল। তবে এই ঘটনাটি নোবেলকে তাঁর সম্পর্কে মানুষের মৃত্যু-পরবর্তী অনুভূতির ব্যাপারে  সতর্ক করে দিলো। তিনি তাঁর উইল বদলে দিলেন। সবাইকে অবাক করে দিয়ে তিনি তাঁর ৯৪% অর্থ নোবেল প্রাইজ পুরস্কার প্রদানের জন্যে ছেড়ে দিলেন যা দেওয়া হবে এমন ব্যক্তিদের যাঁরা পদার্থবিদ্যা, রসায়ন, শান্তি, চিকিৎসা ও সাহিত্যে "মানবতার সর্বোত্তম কল্যাণ" সাধন করবে। (অর্থনীতি পরে অন্য দাতার দানের প্রেক্ষিতে ১৯৬৮ সালে যুক্ত করা হয়)
নোবেল সাহেবের এত বিশাল দান বিশ্বাস করতে সময় লাগায় ১৮৯৫ এ করা উইল অনুমোদন পেতে ১৮৯৭ সাল হয়ে যায়।তাঁর আবিষ্কৃত ডিনামাইটের ক্ষতিকর দিক থাকায় তিনি তার প্রায়শ্চিত্ত করতে চেয়েছিলেন, চেয়েছিলেন মানবতার কল্যানসাধনকারীরা প্রাইজ পাক।
এখন বিতর্ক হলে পদার্থ বিজ্ঞান, রসায়ন সহ সব শাস্রের ধারক বাহকরাই নিজেদেরকে ভোট দেবেন। কিন্তু তাঁদের কেউ কি বলতে পারবেন, তাঁদের অবদান একচেটিয়া? এটা ঠিক জ্ঞান বিজ্ঞানের শাখাগুলো পরস্পর নির্ভরশীল। কিন্তু কোন সেই শাখা যা বাকী সবার চালিকাশক্তি? অবশ্যই গণিত। আমি গণিত ভালোবাসি বলে বলছি তা নয়, এটাই তো বাস্তবতা।
গণিতের নোবেলঃ

পুরস্কার পান আর না পান, গণিতবিদরা মানবতার প্রতি তাঁদের সেরা অবদান চিরকাল অব্যাহত রাখবেন। তবে তাঁদের অবদানের স্বীকৃতি দিতে ২০০১ সাল থেকে নরওয়ে সরকার চালু করেছে নোবেলের কাছাকাছি নামের অ্যাবেল পুরস্কার, গণিতবিদ নিলস হেনরিক অ্যাবেলের( ১৮০২-১৮২৯) নামে। গণিতে নোবেল না থাকায় এটাকেই বলা হয় 'গণিতের নোবেল'।  পুরস্কারের অর্থমূল্য নরওয়ের টাকায় ৬০ লাখ ক্রোনার ( প্রায় ১০ লাখ ইউএস ডলার) বা প্রায় ৮ কোটি বাংলাদেশি টাকা।
অবিচ্ছিন্ন প্রতিসাম্য তত্বের প্রবক্তা গণিতবিদ ম্যারিয়াস সোফাস লী (১৮৪২-১৮৯৯) ১৮৮৯ সালে তাঁর মৃত্যুর কিছু আগে  সর্বপ্রথম এই পুরস্কারের প্রস্তাব দেন এটা জানতে পেরে যে আলফ্রেড নোবেলের পুরস্কার প্রদানের পরিকল্পনায় গণিতের স্থান নেই। তবে ১৯০২ সালেও রাজা ২য় অস্কার পুরস্কারটি শুরু করতে চেয়ে সুইডেন ও নরওয়ের ভাঙনের হুজুগে তা আর করতে পারেননি। আর ১৮৯৯ সালে লী এর মৃত্যুও উৎসাহে বিরতির কারণ।
২০০১ সালের মে মাসে ভাবনাটির পুনরুজ্জীবনের পর একটি ওয়ার্কিং গ্রুপের মাধ্যমে নরওয়ের প্রধানমন্ত্রী বরাবর একটি প্রস্তাবনা পাঠানো হয়। ঐ বছরেরই আগস্টে সরকার ঘোষণা করে যে ২০০২ থেকে পুরস্কার প্রদান শুরু হবে, যে সালটি হল অ্যাবেলের জন্মের দুইশতম বছর। অবশ্য ২০০৩ সাল থেকে এটি প্রদান করা হচ্ছে।
যেভাবে নির্বাচিত করা হয়ঃ
পাঁচজন বিশ্বসেরা গনিতজ্ঞের বাছাইয়ের পর নরওয়েয়ান অ্যাকাডেমি অভ সায়েন্স অ্যান্ড লেটারস প্রতি বছরের মার্চে অ্যাবেল পুরস্কার প্রাপ্তের নাম ঘোষণা করে। International Mathematical Union এর অন্যতম নির্বাহী সদস্য ও বীজগাণিতিক জ্যামিতির গবেষক, নরওয়েরই গণিতজ্ঞ র‍্যাগনি পিয়েনে হচ্ছেন কমিটির প্রধান। International Mathematical Union ও the European Mathematical Society অ্যাবেল কমিটির সদস্যদের মনোনিত করে। পুরস্কারের জন্য মনোনিত ব্যক্তিকে জীবিত হতে হবে। তবে মনোনিত হবার পর মারা গেলে মরণোত্তর পুরস্কার পাবেন।
কে ছিলেন এই অ্যাবেলঃ

১৮০২ সালে জন্ম নেওয়া এই গণিতবিদের রয়েছে  অনেকগুলো ক্ষেত্রে অগ্রবর্তী অবদান। তাঁর সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য অবদান হল General Quintic Equation এর মূল বের করতে পারার অক্ষমতার একটি পূর্ণাংগ প্রমাণ পেশ। এটি তাঁর সময়ের অন্যতম বড় সমস্যা ছিল যা ২৫০ ধরে জিইয়ে ছিল। ইলিপ্টিক ও অ্যাবেলিয়ান ফাংশনের জনক এই গণিতবিদের আয়ুষ্কাল ছিল খুবই স্বল্প, মাত্র ২৬ বছর। তাঁর সম্পর্কে ফ্রেন্স গণিতবিদ চার্লস হারমাইটের উক্তি, " অ্যাবেল গণিতবিদদের  যা রেখে গেছেন তা তাদের ৫০০ বছর ব্যাস্ত রাখার জন্যে যথেষ্ট।" বার্লিন বিশ্ববিদ্যালয়ের প্রফেসর হিসেবে নিয়োগ পাবার কয় দিন আগে তিনি পৃথিবীর মায়া ত্যাগ করেন।
১৬ বছর বয়সে তিনি দ্বিপদী উপপাদ্যের একটি সার্বজনীন প্রমাণ পেশ করেন যা অয়লারের ফলাফলের চেয়ে ভালো ঠেকে, কারণ অয়লারে প্রমাণ খাটতো শুধু মূলদ সংখ্যার জন্য।

২০১৪ সালের অ্যাবেল বিজয়ীঃ
এ বছর অ্যাবেল পকেটে ভরেছেন ইয়াকুভ গ্রিগোরেভিচ সিনাই। অবদান Dynamical Systems, Ergodic theory ও  Mathematical Physics এ মৌলিক অবদান।  এছাড়াও তিনি গণিতের নেমার্স প্রাইজ ও উলফ প্রাইজও জিতেছেন।




অন্যান্য বছর অ্যাবেল প্রাপ্তদের পরিচয় ও অবদানঃ
২০০৩ সাল থেকে নিয়মিত অ্যাবেল প্রদান করা হচ্ছে। প্রথম বছর পুরস্কার পান ফ্রান্সের নাগরিক জন পিয়েরে সেরে। তিনি টপোলজি, বীজগাণিতিক জ্যামিতি ও সংখ্যাতত্ত্ব সহ গণিতের বিভিন্ন শাখার আকৃতি দানে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখেন।
২০০৪ সালে এ পুরস্কার পান যৌথভাবে দু'জন গণিতজ্ঞ- ব্রিটিশ নাগরিক মাইকেল অ্যাটিয়াহ ও আমেরিকান নাগরিক ইসাডোর সিঙ্গের। তাঁরা দু'জন মিলে ইন্ডেক্স উপপাদ্য আবিষ্কার ও প্রমাণ করেন। এর মাধ্যমে টপোলজি, জ্যামিতি ও গাণিতিক বিশ্লেষণ -শাখাগুলো একীভূত হয় এবং গণিত ও তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানের সাথে একটি সেতু-বন্ধন তৈরি হয়।
আমেরিকান গণিতবিদ পিটার ল্যাক্স পান ২০০৫ সালের অ্যাবেল। তাঁর অবদান ছিল আংশিক অন্তরক সমীকরণের তত্ত্ব, প্রয়োগ ও সমাধান প্রদান।
Harmonic analysis ও smooth dynamical systems এর তত্ত্বের উপর পূর্ণাংগ অবদান রেখে ২০০৬ সালে এই পুরস্কার পকেটে ভরেন সুইডিশ গণিতবিদ লেনার্ট কার্লসন।
সম্ভাব্যতা তত্ত্বে মৌলিক অবদানের জন্য ২০০৭ সালের পুরস্কার তুলে দেওয়া হয় ভারতীয় আমেরিকান গণিতবিদ শ্রীনিবসা ভরাধনের হাতে।
বীজগণিত ও গ্রুপ থিওরিতে যৌথ ভূমিকা রেখে জন থম্পসন ও জ্যাক টিটস ২০০৮ সালে ভাগাভাগি করেন এই পুরস্কার।
২০০৯ সালে এটি ঘরে তোলেন রুশ আমেরিকান মিখাইল গ্রমভ। তাঁর অবদান হল জ্যামিতির বৈপ্লবিক উন্নয়ন।
আমেরিকান গণিতজ্ঞ জন টেইট সংখ্যাতত্ত্বের উপর ব্যাপক ও দীর্ঘস্থায়ী প্রভাব তৈরি করতে সক্ষম হওয়ায় ২০১০ সালের পুরস্কার নিজের করে নেন। পরের বছরও তাঁর স্বদেশী জন মিলনর টপোলজি, বীজগণিত ও জ্যামিতিতে ভূমিকা রেখে নিজের পক্ষে নেন ২০১১ সালকে।
এন্দ্রে সেমেরদি লাভ করেন ২০১২ সালের অ্যাবেল। হাঙ্গেরীয় আমেরিকান এই গণিতবিদের অবদান ছিল বিচ্ছিন্ন গণিত ও তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানে।
বেলজিয়ান গণিতবিদ পিয়েরে বীজগাণিতিক জ্যামিতিতে মূখ্য ভূমিকা ও সংখ্যা তত্ত্বে প্রভাব ফেলে ২০১৩ সালে জিতে নেন গণিতের সবচেয়ে সম্মানজনক এই প্রাপ্তি।

Category: articles

Read More...

ধরুন, আপনাকে এক খণ্ড নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যের দড়ি দিয়ে বলা হল, আপনি এটা দিয়ে যত বড় ক্ষেত্র রচনা করতে পারবেন, তার সবটুকু আপনার। তাহলে আপনি কী করবেন? মানে কোন জ্যামিতিক আকৃতির ক্ষেত্র রচনা করবেন? বর্গ, সামান্তরিক, বৃত্ত, আয়ত, ট্রাপিজিয়াম না পঞ্চভুজ? এটাই আজকে আমাদের আলোচনার বিষয়বস্তূ। মনে হতে পারে, এক রকম নিলেই হল। না। কারণ, অনুপাত সব জ্যামিতিক চিত্রের জন্য সমান নয়, ভিন্ন।

আমাদের উত্তর হবে বৃত্ত।  চলুন প্রমাণ করা যাক।
যেহেতু আমাদের আলোচনা ক্ষেত্রফল নিয়ে, তাই আমরা আমাদের আলোচনা দ্বিমাত্রিক জগতে সীমিত রাখবো।
Assumption: বহুভুজ (Polygon) দু’ ধরণের হতে পারে- সমভুজী (Regular Polygon) ও বিষমভুজী। আর আমরা জানি, পরিসীমা (Perimeter) সমান থাকলে নির্দিষ্ট বাহু বিশিষ্ট বহুভূজসমূহের মধ্যে সমবাহু বহুভুজের ক্ষেত্রফল হয় সর্বোচ্চ। অর্থাৎ ত্রিভুজের ক্ষেত্রে সমবাহু ত্রিভুজ, চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে বর্গ ইত্যাদির ক্ষেত্রফল হবে সর্বোচ্চ।
এ বক্তব্যের প্রমাণ বেশ জটিল। এটা আমরা অন্য সময় দেখবো। তবে এখানেও একটি আংশিক প্রমাণ দেখবো। এবারে মূল আলোচনায় আসি। ধরি, প্রদত্ত পরিসীমা = P এবং ক্ষেত্রফল = A। হিসাবের সুবিধার জন্য ধরি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল A₃, চতুর্ভুজ A₄ ইত্যাদি।
প্রমাণের জন্যে আমরা ধারাবাহিকভাবে কম ভুজবিশিষ্ট চিত্র থেকে ক্রমান্বয়ে বড় ভুজ বিশিষ্ট ক্ষেত্রের দিকে যাবো। তাহলে, প্রথমেই আসবে একভুজী বাহুর কথা। এ থেকে আমরা কোন ক্ষেত্রফলই পাবো না। তাহলে A₁= 0।
দ্বিভুজের ক্ষেত্রেও বাহুদ্বয় মিলিত হবে না বলে (শুধুই একটি কোণ তৈরি হবে) A₂=0।

ত্রিভুজঃ আমাদের Assumption অনুযায়ী সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সর্বোচ্চ হবে।
তাহলে, পরিসীমা = P
∴ প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য = P/3 (সমবাহু বলে)
আমরা জানি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ক্ষেত্রফলA₃= √3a²/4।
∴ এখানে, a= P/3। ∴A₃= √3(P/3)²/4= √3P²/36=P²/20.78
বর্গঃ প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য,a = P/4
তাহলে, A₄ = (P/4)²=P²/16 [যেহেতু বর্গের ক্ষেত্রফল = (এক বাহু)^২ ]
ফলে, A₄>A₃

আংশিক প্রমাণ- পরিসীমা সমান হলে সমভুজী বহুভুজের ক্ষেত্রফল সর্বোচ্চ।
আমরা জানি, আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল।
এখন ধরি, বৃহত্তর বাহু = x,
তাহলে, বৃহত্তর দুই বাহু= x+x = 2x
তাহলে, ক্ষুদ্রতর বাহুদ্বয়ের যোগফল = P-2x
∴ প্রত্যেক ক্ষুদ্রতর বাহু = (P-2x)/2
∴ক্ষেত্রফল, A = x(P-2x)/2
= Px/2-x²
x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে,
dA/dx = P/2- 2x
গুরুমানের জন্যে dA/dx =0
বা, P/2-2x = 0
বা, x = P/4
∴বৃহত্তর বাহু = P/4
এবং ক্ষুদ্রতর বাহু = (P-P/2)/2 = 1/2×P/2 = P/4
দেখা যাচ্ছে যে সর্বোচ্চ ক্ষেত্রফল পেতে হলে চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে বৃহত্তর বাহু = ক্ষুদ্রতর বাহু হয়। ফলে ক্ষেত্রটি বর্গে পর্যবসিত হয়। ফলে, আমরা চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে Assumption টি প্রমাণ করলাম। এর মাধ্যমে আমাদের রম্বস, সামান্তরিক, ট্রাপিজিয়ামসহ যেকোন চতুর্ভুজ নিয়ে চিন্তা করার প্রয়োজন ফুরালো। এ পর্যন্ত আমরা দেখলাম ত্রিভুজের চেয়ে চতুর্ভুজ বেশি ক্ষেত্রফল তৈরি করে যদি পরিসীমা সমান হয়।

অন্যান্য বহুভুজঃ
যেকোন বহুভুজের (সমান বাহুবিশিষ্ট) ক্ষেত্রফল বের করার জন্য বেশ ক’টি সূত্র আছে। একটি সূত্র হল,
A = (¼)ns²cot(π/n); যেখানে , n = বহুভুজের বাহুর সংখ্যা, s = বাহুর দৈর্ঘ্য।
আরেকটি সূত্র হল A = Pa/2 যেখানে P= পরিসীমা এবং a= যেকোন বাহুর মধ্যবিন্দু থেকে বহুভুজের কেন্দ্রের লম্ব দূরত্ব।
তাহলে পঞ্চভুজের জন্যে, n = 5. আর s = p/5হওয়ায় প্রথম সূত্র মতে,
∴A₅= (1/4) × 5 × (P/5)²×cot(π/5)
হিসেবকরেপাওয়াযায়, A₅ = P²/14.52
A₅>A₄
অতএব, পঞ্চভুজের ক্ষেত্রফল চতুর্ভুজেরক্ষেত্রফলের চেয়ে বড়।
ষড়ভুজের জন্য n = 6, s = P/6
ফলে, A₆= (1/4) × 6 × (P/6)²×cot(π/6)
= (P²/4×6) ×cot (pi/6)
=P²/13.8477
দেখা যায়, A₆>A₅
অতএব, ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল পঞ্চভুজেরক্ষেত্রফলের চেয়ে বড়।
একইভাবে ক্রমান্বয়ে বৃহত্তর ভুজের জন্যে হিসাব করতে থাকলে আমরা পাব, সপ্তভুজের জন্য A₇ = P²/13.4762
ফলে, A₇>A₆
অষ্টভুজের জন্যে, A₈= P²/13.2473
ফলে, A₈>A₇
অতএব,আমরা দেখতে পাচ্ছি, ভুজের সংখ্যা যত বাড়াবো, ক্ষেত্রফলও তার সাথে ক্রমান্বয়ে বাড়তে থাকবে। কারণ, হিসাব অনুযায়ী ক্রমেই অপেক্ষাকৃত ছোট সংখ্যা দ্বারা ভাগ হচ্ছে।

বৃত্তঃ আপাত দৃষ্টিতে বৃত্তকে বহুভুজ মনে না হলেও আসলে বৃত্তকেও বহুভুজ বলা চলে যার ভুজের সংখ্যা অসীম।
আমাদের দ্বিতীয় সূত্র মতে,A = Pa/2
বৃত্তের জন্যে, a= r
আর এখানে, r = P/(2π) [কারণ, P= 2πr, [বৃত্তের পরিধি = পরিসীমা]
অতএব, A = Pa/2 = P×( P/(2π))/2 = P²/12.56 যা অষ্টভুজের ক্ষেত্রফলের চেয়ে বড় এবং অন্যান্য বহুভুজের ক্ষেত্রফলের চেয়েও বড় হবে।
A = πr² সূত্র দিয়ে বের করলেও ফল একই আসবে।
যেমন, A = πr² = π × (P/2π)² = P²/(4π) = P²/12.56
অতএব, জয় হল বৃত্তের। অর্থাৎ সমান পরিসীমাবিশিষ্ট কোন ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সর্বোচ্চ পেতে চাইলে জ্যামিতিক চিত্রটিকে হতে হবে বৃত্তাকার।

Category: articles

Read More...

গ্রীক দার্শনিক জেনো মনে করতেন গতি নিছকই একটি ভ্রম (Illusion)। মূলত তাঁর অগ্রজ দার্শনিক পারমিনাইডস প্রথম বাস্তবতার দুটি বিপরীত ধারণা তুলে ধরেন। জেনো সাহেব ঐ নীতির সমর্থনেই অনেকগুলো প্যারাডক্স তৈরি করেন। কারণ ভিন্নপন্থীরা পারমিনাইডসের মতবাদের বিরুদ্ধেও তাই করেছিলেন।
জেনোর প্যারাডক্সসমূহের মধ্যে সবচেয়ে বিখ্যাত হলো "একিলিজ ও কচ্ছপ প্যারাডক্স"। আড়াই হাজার বছর আগে জেনোর প্যারাডক্স নিয়ে লেখা বইয়ের এটাই সবচেয়ে সহজে বোঝা যায় যদিও ব্যাখ্যা করা সবচেয়ে দুঃসাধ্য।
প্যারাডক্সটি যা বলতে চায় তা হল-
ট্রোজান যুদ্ধের গতিমান বীর একিলিজ কচ্ছপের সাথে রেসে লেগেছেন। কচ্ছপ আকিলিজের একটু সামনে। গ্রীক বীর কচ্ছপের চেয়ে অবশ্যই দ্রুতগামী। একটু পেছন থেকে ধাওয়া করে তাকে কচ্ছপকে ওভারটেক করতে হবে। কাজটি সহজই মনে হয়। কিন্তু একটা সমস্যা দাঁড়াল। অতিক্রম করতে হলে আগে বীরকে কচ্ছপ পর্যন্ত পৌঁছতে হবে। আকিলিজ যতক্ষণে নিজের ও কচ্ছপের মধ্যকার আদি দূরত্ব পাড়ি দিয়েছেন ততক্ষণে কচ্ছপটি মাঝে আরেকটি গ্যাপ বানিয়ে ফেলেছে। নতুন গ্যাপটি আগের চেয়ে কম, কিন্তু প্রাণিটা ধরতে বীরকে সেই দূরত্ব পার হতে হবে। তিনি সেটা করলেনও।
কিন্তু হায়! ততক্ষণে ছোট্ট এই জীবটি আরেকটি নতুন গ্যাপ তৈরি করে ফেলেছে। ফলাফল হল, আকিলিজ কখোনোই কচ্ছপকে ধরতে পারবেন না যত দ্রুতই তিনি গ্যাপ ফিল-আপ করেন না কেন কারণ, কচ্ছপটা বরাবরই নতুন গ্যাপ বানাতে থাকবে। হ্যাঁ, সেগুলো আগেরগুলোর তুলনায় ক্ষুদ্রতর হবে বটে!
জেনোর যুক্তিকে ভুল বলে উড়িয়ে দেওয়া বেশ লোভনীয়। তবে সাধারণত সেটা করা হয় অলসতা বা অস্বস্তি থেকে। অলসতা- কারণ এটা সমাধান না করেই আমরা সব সময় ভাবতে থাকি, এইতো সমাধান হয়ে গেছে। অস্বস্তির অনুভূতির কারণ হল এতো প্রাচীন এই দার্শনিকের কাছে যুক্তির মার খাওয়া।
এই প্যারাডক্সের উত্তর দিতে গিয়ে অনেকেই বলেন যেহেতু আকিলিজের বেগ বেশি তাই তিনি কচ্ছপকে পার হয়ে যাবেন। কিন্তু জেনো তো ধরেই নিয়েছেন আকিলিজের বেগ বেশি। তাই এই বক্তব্য উত্তর হতে পারে না। বেগ বেশি বলেই তো গ্যাপ ক্রমাগত কমছে, কিন্তু কখোনোই জিরো হচ্ছে না।
দর্শন ও গণিতের বেশির ভাগ প্রফেসরদের মতে শুধু এই প্যারাডক্সটি নিয়েই একটা বই লিখে ফেলা যেতে পারে। অনেকে লিখেছেনও।
আসুন সংক্ষেপে প্যারাডক্সটি ভাঙ্গার চেষ্টা করি।

জেনো প্রমাণ করতে চেয়েছিলেন পরিবর্তন ও গতি বাস্তব কিছু নয়। তাঁর অ্যারো প্যারাডক্সও সেই উদ্দেশ্যেই বানানো। ইলিনয়েস বিশ্ববিদ্যালয়ের অধ্যাপক নিক হাগেট বলেন জেনোর মত ছিলো, " গতিকে অস্বীকার করা পাগলামী তবে মেনে নেওয়া আরো কষ্টকর"।
জগৎ সম্পর্কে আমাদের ধারণা ও বাস্তবতার মধ্যে যে ফারাক প্যারাডক্সটি এটাই তুলে ধরে। Enlightening Symbols বইয়ের লেখক ও মার্লবোরো কলেজের গণিতের এমিরিটাস প্রফেসর জোসেফ মাজুরের মতে "প্যারাডক্সটি হচ্ছে এমন যা স্থান, কাল ও গতি সম্পর্কে আমাদেরকে ভুলভাবে চিন্তা করায়"।
তাহলে আমাদের চিন্তার গলদ কোথায়?
গতি বাস্তব এবং সম্ভব, অবশ্যই। আর দ্রুতগামী দৌড়বিদ অবশ্যই কচ্ছপকে হারাবেন। সমস্যাটির সাথে আমাদের ইনফিনিটির (ম্যাগাজিন নয়, অসীমতা) ধারণার একটি যোগসূত্র আছে।
একিলিজের কাজ অসম্ভব মনে হয় কারণ তাকে সসীম সময়ে অসীম সংখ্যক কাজ (গ্যাপ পূরণ) করতে হবে। কিন্তু সব অসীমের প্রকৃতি এক নয়।
ধারাদের মধ্যে অভিসারী (Convergent) ও অপসারী (Divergent) ধারা রয়েছে। স্পষ্টতম অপসারী ধারা হল ১+২+৩+......... এই ধারার উত্তর অসীম। আকিলিজকে এই ধারার ধরণের পথ পাড়ি দিতে হলে কাজটি অসম্ভব হয়ে যেত। অর্থ্যাৎ কচ্ছপ যদি ক্রমান্বয়ে বৃহত্তর দূরত্ব তৈরি করত তখন সেটা অপসারী ধারা হত।
এবার এই ধারাটির কথা ভাবুন ১/২+১/৪+১/৮+.........। অসীম পর্যন্ত চললেও সিরিজটা অভিসারী যার উত্তর হয় ১। অসীম সংখ্যক পদের যোগফল যে সসীম সংখ্যা হতে পারে এই ধারাটা তার একটি প্রমাণ যা চমক ভাই কুমড়া থিওরি দিয়ে প্রমাণ করিয়েছিলেন। আকিলিজ যদি দ্রুত দৌড়ে ক্রমান্বয়ে দূরত্ব কমান তাহলে যে ধারাটা তৈরি হয় তাও অনেকটা এই ধারাটার মত। ফলে, আকিলিজ পরিমাপযোগ্য সসীম সময়ে অসীম ধারা সৃষ্টিকারী দূরত্ব পার হতে পারবেন।
ধারার এই ধারণা জেনোর আরেকটি বিভ্রান্তিকর প্যারাডক্সের জবাব দেয়। সেটা হল দ্বিবিভাজন বা Dichotomy Paradox। মনে করুন, আপনার সামনে একটি বাস আছে যা আপনি দৌড় দিয়ে ধরতে চান। মনে করুন তার দূরত্ব ক। ক দূরত্বে পৌঁছতে প্রথমে আপনাকে ক/২ দূরত্বে যেতে হবে। ক/২ দুরত্বে যেতে হলে আগে ক/৪, ক/৪ যেতে ক/৮............ইত্যাদি। অর্থ্যাৎ সিকোয়েন্সটা দাঁড়ায় এমন -

অর্থ্যাৎ জেনোর মতে যেহেতু বাসটা ধরতে অসীম সংখ্যক পথ পাড়ি দিতে হবে সেহেতু বাস আর কোন দিনই ধরা হবে না। কিন্তু বেচারা জেনো! অসীম এই ধারা সমষ্টি সসীম। ফলে বাস ধরার স্বপ্নও অধরা থাকবে না।
এ তো আমরা অসীমকে সসীম বানালাম। কিন্তু আরেকভাবে চিন্তা করলে আসলে সব সসীমই তো আসলে অসীম। যেমন ধরুন, পরীক্ষার সময় ১ ঘন্টা। এখন, চাইলে এই ঘন্টাকে অসীম সংখ্যক ভাগে বিভক্ত করা যায়। যে কোন রাশিকেই তো ক্ষুদ্রতর এককে হিসাব করতে থাকলে তা ইনফিনিটির দিকে যেতে থাকে।
তবে, প্যারডক্সের রক্ষণভাগ এখোনও ধ্বসেনি। Halfway to Zero বইয়ের লেখক বেঞ্জামিন অ্যালেন এর মতে গাণিতিকভাবে এটা সম্ভব যে একটা দ্রুততর বস্তু একটি কম বেগসম্পন্ন বস্তুকে চিরকাল তাড়া করবে, কিন্তু ধরতে পারবে না, যদি সঠিক প্রক্রিয়ায় দুটোরই বেগ কমতে থাকে।
এরও উত্তর মিলবে দুই ধরণের ধারার পার্থক্যের মধ্যে। ১/২+১/৩+১/৪+১/৫+......ধারাটিকে কনভারজেন্ট মনে হলেও এটা আসলে ডাইভারজেন্ট (অপসারী -Divergent)। একিলিজ যদি এই ধারার মত করে কচ্ছপকে তাড়া করে বেড়ায় তবে সত্যি হার মানতে হবে। প্যারাডক্সে তেমন কোন শর্ত নেই। তাই এবার প্যারাডক্স ঠিকই গোল খেল!
তবে, এই উত্তরে হয়তো গ্রিক দার্শনিকগণ সন্তুষ্ট হতেন না। কারণ, তাদের অনেকেই মনে করতেন চোখে দেখা বাস্তবতার চেয়ে তাদের যুক্তির ক্ষমতা বেশি।

Category: articles

Read More...

[আমার এ লেখাটি মাসিক গণিত ম্যাগাজিন পাই জিরো টু ইনফিনিটির জানুয়ারি ২০১৪ সংখ্যায় ছাপা হয়েছিল। কাজে লাগতে পারে ভেবে সবার সাথে শেয়ার করলাম।]
যদিও বাঁধাধরা নিয়ম মানতে আমাদের ভালো লাগে না, তবু নিয়মেইর মাঝেই রয়েছে গঠনমূলক আউটপুট। আমরা এখানে দেখব  ২ থেকে ১১ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো দ্বারা  কোন সংখ্যাগুলো বিভাজ্য। আর এই নিয়মটির কাছে হার মানবে TI-89 গ্রাফিক ক্যালকুলেটরসহ বিভিন্ন অনলাইন ক্যালকুলেটর। এমনকি আপনার ক্যালকুলেটরও হার মানতে পারে। আচ্ছা একটা ভাগ অঙ্ক করুন তো- 12,347,496,132 কে 11 দিয়ে! আপনার ডিভাইস যদি সংখ্যাটিকে 11 দ্বারা বিভাজ্য দেখায়, তবে ক্যালকুলেটরটি ভুল! কারণ এতে রাউন্ডিং করা হয়েছে, মানে আসন্নীকৃত মান প্রদর্শিত হয়েছে। প্রকৃত ভাগফল হবে 1122499648 দশমিক 3636...36..।
এবার মূল আলোচনায় আসি
বিঃদ্রঃ আলোচনায় বিভাজ্য বলতে নিঃশেষে বিভাজ্য বোঝানো হয়েছে।
 ২ দ্বারা বিভাজ্যতাঃ আমরা সবাই জানি যে কোনো জোড় সংখ্যাই ২ দ্বারা বিভাজ্য। যেমন, ২, ৮, ১১৪, ৪৩২৫৬ ইত্যাদি।
৩ দ্বারা বিভাজ্যতাঃ কোন সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল যদি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয় তাহলে সংখ্যাটিও ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন ১৪১ এর ক্ষেত্রে ১+৪+১=৬, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। তাই ১৪১ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য। কিন্তু যেমন ধরুণ ২৩৮ এর ক্ষেত্রে ২+৩+৮=১৩, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়, সুতরাং ২৩৮ তিন দ্বারা অবিভাজ্য। অঙ্কগুলোর যোগফল বেশি বড় হয়ে গেলে (যদি যোগফল দেখে একবারে বোঝা না যায়) যোগফলের জন্যই আবার নিয়মটি প্রয়োগ করুন।
৪ দ্বারা বিভাজ্যতাঃকোন সংখ্যার  দশক ও এককের ঘরের অঙ্ক নিয়ে গঠিত সংখ্যা ৪ দিয়ে বিভাজ্য হলে সংখ্যাটিও ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে। যেমন ১১৬ এর ক্ষেত্রে ১৬, যা ৪ দিয়ে বিভাজ্য, তাই ১১৬ ও ৪ দিয়ে বিভাজ্য। আবার ৫৬০ এর ৬০ যেহেতু ৪ দিয়ে বিভাজ্য, তাই ৫৬০ ও বিভাজ্য।
৫ দ্বারা বিভাজ্যতাঃ এটাও আমরা সবাই ভালো করেই জানি এবং কাজে লাগাই। সংখ্যার এককের ঘরের অঙ্ক ০ বা ৫ হলে সেই সংখ্যা ৫ দ্বারা বিভাজ্য। যেমন, ১০৫, ৩০৬০, ৯৬৫ ইত্যাদি।
৬ দ্বারা বিভাজ্যতাঃ ৬ সংখ্যাটি ২ এবং ৩ এর গুণফল। তাই যে সংখ্যা ২ ও ৩ উভয় সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হবে, সেটাই ৬ দ্বারা বিভাজ্য হবে। আরো সহজ করে বললে, সংখ্যাটি হবে জোড় এবং অঙ্কগুলোর যোগফল তিন দ্বারা বিভাজ্য হবে। জোড় না হলেই বাদ! জোড় হলেই শুধু তিন এর পরীক্ষা -ব্যাস!
যেমন, ১২০ একটি জোড় সংখ্য এবং তিন দ্বারা বিভাজ্য (কারণ ১+২+০=৩), তাই ১২০ ছয় দ্বারা বিভাজ্য। একইভাবে, ৭৮০ জোড় সংখ্যা এবং ৭+৮+০=১৫, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য, তাই ৭৮০, ছয় দ্বারা বিভাজ্য।
৭ দ্বারা বিভাজ্যতাঃ
এককের অঙ্ককে বর্গ করে সংখ্যাটির বাকী অংশ থেকে বিয়োগ দিন। ভাগফল ৭ দ্বারা ভাগযোগ্য হলেই কেল্লাফতে!!!
যেমন, ৬৭২ হলে ৬৭-৪=৬৩। সুতরাং ৬৩/৭ =৯। ইউরেকা! সংখ্যাটি বড় হলে একই প্রক্রিয়ার পুনরাবৃত্তি করা যাবে।
যেমন,  ৪৫১৭৮ হলে ৪৫১৭-৬৪=৪৪৫৩। আবার ৪৪৫-৯ = ৪৩৬, পুনরায় ৪৩-৩৬ = ৭ যা কাঙ্খিত। তাই কেল্লাফতে!!!
৮ দ্বারা বিভাজ্যতাঃ কোন সংখ্যার সর্বশেষ তিন অঙ্কের সমন্বয়, মানে শতক, দশক ও এককের অঙ্কের সমন্বয় যদি ৮ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে ঐ সংখ্যাটি ৮ দ্বারা বিভাজ্য হয়। যেমন ৯৬৪০ আট দ্বারা বিভাজ্য কারণ ৬৪০/৮=৮০। তবে এ প্রক্রিয়া ঝামেলাপূর্ণ মনে হতে পারে। কিন্তু ,মনে করুন আপনার কাছে আছে একটি বিশাল সংখ্যা -20,233,322,496। এখন 496 কেই 8 দ্বারা ভাগ দিলেই আপনি বুঝে ফেলবেন রহস্য!
৯ দ্বারা বিভাজ্যতাঃ তিন এর নিয়মের মতোই অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে। যেমন ৭২১৮ এর জন্য ৭+২+১+৮=১৮ যা ৯ দিয়ে ভাগযোগ্য। 10,006,470 এর জন্য ১+৬+৪+৭=১৮, ফলে এটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য হতে বাধ্য।
১০ দ্বারা বিভাজ্যতাঃ এটাও সবার জানা এবং মানা (মানে মানা হয়)। অর্থ্যাৎ এককের ঘরে ০ থাকতে হবে
তবুও নিরস উদাহরণ দিচ্ছি- ১১০, ৭৬০, ১০০৩৭৭৩০ ইত্যাদি।
১১ দ্বারা বিভাজ্যতাঃ ১১ এর পরীক্ষায় পাস করতে হলে সংখ্যাটির একটার পর একটা পর্যায়ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ও বাকী সংখ্যাগুলোর যোগফলের পার্থক্য ১১ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে। অস্পষ্ট লাগলে উদাহরণে পরিষ্কার হয়ে যাবে।
যেমন ১০৮২৪ এর জন্যে (১+৮+৪)-(০+২)= ১৩-২=১১। ফলে, ১০,৮২৪ এগার দিয়ে বিভাজ্য।
একইভাবে- ২৫, ৭৮৪ এর ক্ষেত্রে- (২+৭+৪) - ( ৫+৮)=১৩-১৩=০ । আর ০ ও তো ১১ দিয়ে ভাগ যায় (০ বার!!!)।
৫০ এর ছোট সব মৌলিক সংখ্যার পরীক্ষা চালাতে এ লিঙ্কে যান  http://www.mathsisfun.com/divisibility-rules.html

এবার তাহলে আলোচনা শুরুর সংখ্যাটির ময়নাতদন্ত করে ফেলি!
সংখ্যাটি হলো 12,347,496,132। সুতরাং (১+৩+৭+৯+১+২) - (২+৪+৪+৬+৩) = ২৩-১৯ = ৪ হয়, মানে ১১ দ্বারা অবিভাজ্য।
দেখা যাচ্ছে এ প্রক্রিয়াটির কাছে যন্ত্র পর্যন্ত আত্মসমর্পণ করেছে!
সূত্রঃ
১. উহকিপিডিয়া -Division algorithm
২. http://www.mathwarehouse.com/arithmetic/numbers/divisibility-rules-and-tests.php
৩. http://www.mathsisfun.com/divisibility-rules.html

Category: articles

Read More...

বর্তমানে ক্যালকুলাস দিয়ে খুব সহজেই গোলকের সূত্র বের করা যায়। তবে ক্যালকুলাসের জন্ম তো এই সেদিন। সতেরশ শতকজুড়ে চলা ক্যালকুলাসের চর্চার চূড়ান্ত পরিণতি ঘটে নিউটন ও লিবনিজের হাত ধরে। অথচ খৃষ্টপূর্ব ২০০ শতকেই আর্কিমিডিস গোলকের সূত্র আবিষ্কার করে ফেলেছিলেন। চলুন, দেখা যাক কীভাবে ক্যালকুলাস ছাড়াই এই সূত্র পাওয়া যায়।
ধাপ-১. একটি অর্ধ-গোলক (hemisphere) নিন। গোলকের সমান উচ্চতা ও ব্যাসার্ধের একটি সিলিণ্ডার দ্বারা একে আবৃত করুন। (আর এক্ষেত্রে যেহেতু গোলককে আবৃত করা হল, তাই সিলিন্ডারের উচ্চতা ও ব্যাসার্ধ সমান হবে)।

আমরা জানি সিলিন্ডারের আয়তন হচ্ছে = πr²h. এখানে যেহেতু সিলিন্ডারের উচ্চতা ও ব্যাসার্ধ সমান, তাই h=r। সুতরাং A =πr²×r=πr³। [বিস্তারিত বুঝতে চিত্র দেখুন]
২. এবার সিলিন্ডারের মধ্যে একটি সমকোণী কোণক নেই যার ভূমি থাকবে সিলিন্ডারের শীর্ষ বরাবর এবং নিম্ন-বিন্দু থাকবে অর্ধ-গোলকের কেন্দ্রে [চিত্র দ্রষ্টব্য]।
আমরা জানি কোণকের আয়তন = 1/3×ভূমির ক্ষেত্রফল×উচ্চতা= 1/3×π×r²×r (কারণ উচ্চতাও ব্যাসার্ধ r এর সমান)
এখন গণিতে এটা প্রমাণিত যে আমাদের চিত্রে দেখানো যেকোন কোণকের ক্ষেত্রে
অর্ধ-গোলকের ক্ষেত্রফল = সিলিন্ডারের ক্ষেত্রফল- কোণকের ক্ষেত্রফল হবে। [প্রমাণ ধাপ-৩ এ]
৩. প্রমাণঃ অর্ধ-গোলকের সমতল ভূমি থেকে h উচ্চতায় একটি আনুভূমিক ফালি নিই।
[চিত্র-২ দেখুন]

এখানে কোণকের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল হবে πx², যেখানে x = এই বিন্দুতে কোণকের ব্যাসার্ধ। অর্ধ-গোলকের বৃত্তাকার প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল হবে πs ² যেখানে s = এই বিন্দুতে অর্ধ-গোলকের ব্যাসার্ধ।
স্পষ্টত, এখানে কোণকটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, কারণ দুই বাহু = r । তাহলে ক্ষুদ্রতম ত্রিভুজটি হবে কোণকের মতই। মানে x = h। h, s, r বাহুগুলো একটি সমকোণী ত্রিভুজ রচনা করেছে।
তাহলে পিথাগোরাস সাহেব আমাদের বলছেন -
s²+h²= r²
অতএব πs² + πx² = π(r²-h²) + πh² = πr²। [যেহেতু x = h]
তাহলে আমাদের প্রতিজ্ঞাটি প্রমাণিত হল।
অর্থ্যাৎ অর্ধ-গোলকের ক্ষেত্রফল + কোণকের ক্ষেত্রফল = সিলিন্ডারের ক্ষেত্রফল।
এখন ঘনবস্তুর ক্ষেত্রে, সমান প্রস্থচ্ছেদের আনুভূমিক খণ্ডাংশ নেওয়া হলে খণ্ডাংশগুলোর আয়তনও সমান হবে।
৪. তাহলে আমরা ২ ও ৩ নং ধাপের সমন্বয়ে লিখতে পারি-
অর্ধ-গোলকের আয়তন = সিলিণ্ডারের আয়তন - কোণকের আয়তন
= πr³-1/3πr³
=2/3r³
অর্ধ গোলকের আয়তন যদি 2/3πr³হয় তাহলে পূর্ণ গোলক হবে এর দ্বিগুণ মানে 2×2/3πr³ = 4/3πr³।
শেষ পর্যন্ত পেলাম আমরা গোলকের আয়তন।

Category: articles

Read More...

আগের পোস্টে বলেছিলাম ৪=৩ প্রমাণ করা গেলেও আসলে সেটি গণিতের সাথে ফাঁকিবাজি যা নিয়ম মেনে প্রমাণ করা অসম্ভব। এখন তাহলে মনে হচ্ছে .৯৯৯৯৯৯......= ১ প্রমাণ করাও তাহলে একটি লুকোচুরির দাবি রাখে। কিন্তু না, উল্টোটা প্রমাণ করতেই বরং লুকোচুরির আশ্রয় নিতে হবে। শুনতে অবাস্তব লাগছে দেখেই এক হালি প্রমান হাজির করছি......
প্রমাণ -১;বীজগাণিতিক প্রমাণঃ
ধরি, x= 0.999999......
তাহলে, 10x = 10 × 0.9999999........
or, 10x= 9.9999999....
বিয়োগ করে,
10x-x=9.9999999..... - 0.99999999.....
or, 9x= 9.000000
or, 9x = 9
or, x= 1
অথচ আমরা ধরেছিলাম, x=0.999999....
সুতরাং ০.৯৯৯৯৯৯৯৯৯৯......= ১ [প্রমাণিত)


প্রমাণ -২
দুইটি সংখ্যা যদি একই হয়, তার অর্থ এদের মাঝখানে অন্য কোন সংখ্যা নেই। যেওমন আমি যদি প্রমাণ করতে চাই  x= y, তাহলে আমাকে দেখাতে হবে x এবং y এর মাঝে অন্য কোন সংখ্যা নেই।
এখন, বলুন তো ০.৯৯৯৯৯৯৯৯৯৯ এবং ১ এর মাঝের সংখ্যা কোনটি? আপনি যদি অবিচ্ছিন্ন সংখ্যা consider করেন তবু এ দুই সংখ্যার মাঝে কাউকে পাবেন না। তার মানে দুজনে আসলে একই।


প্রমাণ-৩ঃ
আমরা জানি,
1/9=0.1111111.....
এটাই যদি বিশ্বাস না হয় তাহলে ক্যালকুলেটর চেপে দেখে নিন অথবা খাতা কলম নিয়ে ভাগ করে ফেলুন।
এবার তাহলে, 9×1/9 = 9× 0.11111111... [উভয়পক্ষকে 9 দ্বারা গুণ করে]
বা, 1 = 0.9999999.........

প্রমাণ -৪; ধারার মাধ্যমেঃ

আমরা লিখতে পারি,
0.9999999999....= 0.9+0.09+0.009+0.0009+..........
= 9/10+9/100+9/1000+9/10000+.......
এটা একটি গূনোত্তর ধারা যার প্রথম পদ , a = 9/10
সাধারণ অনুপাত, r = 1/10  <1
আমরা জানি গুনোত্তর ধারার r ১ এর ছোত হলে সমষ্টি হয়
S= a/(1-r)
=9/10(1-1/10)
=9/10×10/9   [না বুঝা গেলে খাতায় করে দেখুন, সিম্পল)
= 1
তাহলে ধারা থেকেও পাচ্ছি ০.৯৯৯৯৯৯৯... = ১
লক্ষ্যণীয় ০.৯৯৯৯৯৯৯৯ লিখতে গিয়ে ডট ডট না দিলে কিন্তু তা ১ হবে না।

Category: articles

Read More...